Teoremi di base

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Pr$\left(\vphantom{ \phi }\right.$$\phi$ $\left.\vphantom{ \phi }\right)$ = 0: la probabilità dell'evento impossibile è nulla.

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Pr$\left(\vphantom{ A\bigcap B}\right.$A$\bigcap$B$\left.\vphantom{ A\bigcap B}\right)$ + Pr$\left(\vphantom{ A\bigcap \overline{B}}\right.$A$\bigcap$$\overline{B}$ $\left.\vphantom{ A\bigcap \overline{B}}\right)$ = Pr$\left(\vphantom{ A}\right.$A$\left.\vphantom{ A}\right)$ e Pr$\left(\vphantom{ B}\right.$B$\left.\vphantom{ B}\right)$ + Pr$\left(\vphantom{ \overline{B}}\right.$$\overline{B}$ $\left.\vphantom{ \overline{B}}\right)$ = 1: un evento ed il suo complemento riempiono lo spazio (noto anche come teorema delle probabilità totali^5.1 )

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Pr$\left(\vphantom{ A\bigcup B}\right.$A$\bigcup$B$\left.\vphantom{ A\bigcup B}\right)$ = Pr$\left(\vphantom{ A}\right.$A$\left.\vphantom{ A}\right)$ + Pr$\left(\vphantom{ B}\right.$B$\left.\vphantom{ B}\right)$ - Pr$\left(\vphantom{ A\bigcap B}\right.$A$\bigcap$B$\left.\vphantom{ A\bigcap B}\right)$: la probabilità dell'evento intersezione va contata una sola volta. Ad esempio: la probabilità Pr$\left(\vphantom{ pari\, \bigcup >2}\right.$pari $\bigcup$ > 2$\left.\vphantom{ pari\, \bigcup >2}\right)$ che lanciando un dado si ottenga un numero pari, oppure piú grande di due, è la somma delle probabilità dei singoli eventi Pr$\left(\vphantom{ pari}\right.$pari$\left.\vphantom{ pari}\right)$ = ${\frac{3}{6}}$ e Pr$\left(\vphantom{ >2}\right.$ > 2$\left.\vphantom{ >2}\right)$ = ${\frac{4}{6}}$, meno la probabilità che si verifichino assieme Pr$\left(\vphantom{ pari\, \bigcap >2}\right.$pari $\bigcap$ > 2$\left.\vphantom{ pari\, \bigcap >2}\right)$ = ${\frac{2}{6}}$. Pertanto: Pr$\left(\vphantom{ pari\, \bigcup >2}\right.$pari $\bigcup$ > 2$\left.\vphantom{ pari\, \bigcup >2}\right)$ = ${\frac{3}{6}}$ + ${\frac{4}{6}}$ - ${\frac{2}{6}}$ = ${\frac{5}{6}}$.

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Se B $\subseteq$ A allora Pr$\left(\vphantom{ B}\right.$B$\left.\vphantom{ B}\right)$ $\leq$ Pr$\left(\vphantom{ A}\right.$A$\left.\vphantom{ A}\right)$: quando l'evento B è contenuto in A il verificarsi del primo implica il secondo.