Probabilità condizionali

Può avvenire che il verificarsi di un evento influenzi il verificarsi o meno di un altro: Si dice allora che lo condiziona, ovvero che l'evento influenzato è condizionato. La probabilità che avvenga A, noto che B si sia verificato, si scrive Pr$\left(\vphantom{ A/B}\right.$A/B$\left.\vphantom{ A/B}\right)$, e si legge probabilità (condizionata) di A dato B, che è definita come

Pr$$\left(\vphantom{ A/B}\right.$$A/B$$\left.\vphantom{ A/B}\right)$$ = $${\frac{Pr\left( A,B\right) }{Pr\left( B\right) }}$$

in cui Pr$\left(\vphantom{ A,B}\right.$A, B$\left.\vphantom{ A,B}\right)$ = Pr$\left(\vphantom{ A\bigcap B}\right.$A$\bigcap$B$\left.\vphantom{ A\bigcap B}\right)$ è la probabilità congiunta che A e B si verifichino entrambi, ed a patto che Pr$\left(\vphantom{ B}\right.$B$\left.\vphantom{ B}\right)$ $\neq$ 0 (altrimenti anche Pr$\left(\vphantom{ A/B}\right.$A/B$\left.\vphantom{ A/B}\right)$ è zero!).

Esempio:

la probabilità che lanciando un dado si ottenga un numero pari, condizionatamente all'evento che il numero sia >2, è pari alla probabilità che i due risultati si verifichino contemporaneamente, diviso per la probabilità che il numero sia >2(^5.2 ).

A partire dalla precedente definizione, si ottiene quella della probabilità congiunta: Pr$\left(\vphantom{ A,B}\right.$A, B$\left.\vphantom{ A,B}\right)$ = Pr$\left(\vphantom{ A/B}\right.$A/B$\left.\vphantom{ A/B}\right)$Pr$\left(\vphantom{ B}\right.$B$\left.\vphantom{ B}\right)$; inoltre, gli eventi condizionante e condizionato possono invertire i rispettivi ruoli, permettendo di scrivere anche: Pr$\left(\vphantom{ A,B}\right.$A, B$\left.\vphantom{ A,B}\right)$ = Pr$\left(\vphantom{ B/A}\right.$B/A$\left.\vphantom{ B/A}\right)$Pr$\left(\vphantom{ A}\right.$A$\left.\vphantom{ A}\right)$. Eguagliando le due espressioni, si ottiene:

Pr$$\left(\vphantom{ A/B}\right.$$A/B$$\left.\vphantom{ A/B}\right)$$ = $${\frac{Pr\left( B/A\right) Pr\left( A\right) }{Pr\left( B\right) }}$$    ed anche    Pr$$\left(\vphantom{ B/A}\right.$$B/A$$\left.\vphantom{ B/A}\right)$$ = $${\frac{Pr\left( A/B\right) Pr\left( B\right) }{Pr\left( A\right) }}$$

Come ultima definizione, rammentiamo che le probabilità Pr$\left(\vphantom{ A}\right.$A$\left.\vphantom{ A}\right)$ e Pr$\left(\vphantom{ B}\right.$B$\left.\vphantom{ B}\right)$ sono indicate come marginali.