Serie di Fourier a banda limitata

Consideriamo un'onda quadra con duty-cycle del 50%

x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = $$\sum^{\infty }_{k=-\infty }$$rect_{${\frac{T}{2}}$}$$\left(\vphantom{ t-kT}\right.$$t - kT$$\left.\vphantom{ t-kT}\right)$$

rappresentata mediante una serie troncata di Fourier in cui si considerano solo i coefficienti X_n con indice - N $\leq$ n $\leq$ N. Sappiamo che X_n = ${\frac{\tau }{T}}$${\frac{\sin \left( \pi nF\tau \right) }{\pi nF\tau }}$ e, per $\tau$ = ${\frac{T}{2}}$, si ottiene X_n = ${\frac{1}{2}}$${\frac{\sin \left( n\frac{\pi }{2}\right) }{n\frac{\pi }{2}}}$ = ${\frac{1}{2}}$sinc$\left(\vphantom{ \frac{n}{2}}\right.$${\frac{n}{2}}$ $\left.\vphantom{ \frac{n}{2}}\right)$, che risulta diverso da zero solo con n dispari, e dunque:

X₀ = $${\textstyle\frac{1}{2}}$$;        X_n = $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{ccl} \frac{\left( -1\right) ^{\fr... ... \hbox {n}\; dispari\\ 0 & \hbox {con} & \hbox {n}\; pari \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ccl} \frac{\left( -1\right) ^{\frac{n-1}{2}}}{\pi n... ... {con} & \hbox {n}\; dispari\\ 0 & \hbox {con} & \hbox {n}\; pari \end{array}$$

Essendo inoltre x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ reale pari, sappiamo che può essere espresso come serie di coseni: x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = X₀ + $\sum^{\infty }_{n=1}$2X_ncos$\left(\vphantom{ 2\pi nFt}\right.$2$\pi$nFt$\left.\vphantom{ 2\pi nFt}\right)$.

0.500000

Nella figura a fianco riportiamo il risultato ottenuto arrestando lo sviluppo in serie all'indice mostrato per ogni curva, e generando quindi il segnale

$$\widehat{x}_{N}^{}$$$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = X₀ + $$\sum^{n_{Max}}_{N=1}$$2X_ncos$$\left(\vphantom{ 2\pi nFt}\right.$$2$$\pi$$nFt$$\left.\vphantom{ 2\pi nFt}\right)$$

Come osservabile, la ricostruzione è sempre più accurata, tranne che per le oscillazioni in prossimità della discontinuità, che prendono il nome di Fenomeno di Gibbs.

Il caso mostrato è emblematico della inaccuratezza che si commette considerando contributi frequenziali ridotti rispetto a quelli propri della forma d'onda^2.6, a causa (ad esempio) di un filtraggio del segnale.