Serie di Fourier

0.300000

Un segnale periodico x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ è un segnale di potenza, caratterizzato dall'assumere ripetutamente gli stessi valori a distanza multipla di un intervallo temporale T denominato periodo, ovvero tale che x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ = x$\left(\vphantom{ t+T}\right.$t + T$\left.\vphantom{ t+T}\right)$ $\forall$t.

L'inverso di T è denominato frequenza fondamentale F = ${\frac{1}{T}}$ o prima armonica di x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, espressa in Hertz, dimensionalmente pari all'inverso di un tempo [sec^-1].

Per i segnali periodici esiste una forma di rappresentazione basata sulla conoscenza di una serie infinita di coefficienti complessi $\left\{\vphantom{ X_{n}}\right.$X_n$\left.\vphantom{ X_{n}}\right\}$ denominati coefficienti di Fourier, calcolabili a partire da un periodo del segnale, e che ne permettono la ricostruzione sotto forma di una combinazione lineare delle infinite funzioni esponenziali complesse e^j2$\pi$nFt; la formula di ricostruzione prende il nome di serie di Fourier:

x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = $$\sum^{\infty }_{n=-\infty }$$X_n e^j2$\pi$nFt        con    X_n = $${\frac{1}{T}}$$ $$\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}$$x$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ e^-j2$\pi$nFtdt

Notiamo che:

• La conoscenza di $\left\{\vphantom{ X_{n}}\right.$X_n$\left.\vphantom{ X_{n}}\right\}$ equivale a quella di x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ e viceversa, esistendo il modo di passare dall'una all'altra rappresentazione;
• I coefficienti X_n sono chiamati componenti armoniche di x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ a frequenza f = nF;
• Le funzioni della base di rappresentazione e^j2$\pi$nFt sono funzioni trigonometriche a frequenza multipla (n-esima) della fondamentale, dette anche armoniche n-esime^2.3

• Il coefficiente X₀ = ${\frac{1}{T}}$ $\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}$x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$dt rappresenta la componente continua (o valor medio) di x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$;
• La serie di Fourier dà valori esatti in tutti i punti in cui x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ è continuo, mentre in corrispondenza di discontinuità di prima specie fornisce un valore pari alla media dei valori agli estremi, cosicché il valore dell'energia di un periodo è preservato;
• I coefficienti Fourier X_n possono essere calcolati anche per un segnale di estensione finita T. Antitrasformando, il segnale diventa periodico!
• Se poniamo nF = f (con f variabile continua), possiamo interpretare le componenti armoniche come i valori campionati di una funzione (complessa) delle frequenza: X_n = $\overline{X}$$\left(\vphantom{ nF}\right.$nF$\left.\vphantom{ nF}\right)$. Ad $\overline{X}$$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ si dà il nome di inviluppo dello spettro di ampiezza di x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$, che si ottiene estendendo la definizione dei coefficienti di Fourier: $\overline{X}$$\left(\vphantom{ f}\right.$f$\left.\vphantom{ f}\right)$ = ${\frac{1}{T}}$ $\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}$x$\left(\vphantom{ t}\right.$t$\left.\vphantom{ t}\right)$ e^-j2$\pi$ftdt;
• I coefficienti X_n sono valori complessi. Al loro posto si possono usare, in alternativa:
  $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{rcll} M_{n} & = & \left\vert X_{n... ...{n}\right\} } & \hbox {Spettro}\, \hbox {di}\, \hbox {fase} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{rcll} M_{n} & = & \left\vert X_{n}\right\vert & \hb... ...eft\{ X_{n}\right\} } & \hbox {Spettro}\, \hbox {di}\, \hbox {fase} \end{array}$$
  essendo
  X_n = $$\left\vert\vphantom{ X_{n}}\right.$$X_n$$\left.\vphantom{ X_{n}}\right\vert$$e^{j$\varphi_{n}$} = $$\Re$$$$\left\{\vphantom{ X_{n}}\right.$$X_n$$\left.\vphantom{ X_{n}}\right\}$$ + j$$\Im$$$$\left\{\vphantom{ X_{n}}\right.$$X_n$$\left.\vphantom{ X_{n}}\right\}$$