Finestratura e stima spettrale

Prima di chiudere il capitolo, applichiamo la teoria svolta per speculare sul problema dell'analisi spettrale effettuata a partire da un solo segmento temporale del segnale.

Il calcolo dello spettro di y $\left(\vphantom{ t}\right.$ t $\left.\vphantom{ t}\right)$ = x $\left(\vphantom{ t}\right.$ t $\left.\vphantom{ t}\right)$ w $\left(\vphantom{ t}\right.$ t $\left.\vphantom{ t}\right)$ fornisce, come noto, la trasformata Y $\left(\vphantom{ f}\right.$ f $\left.\vphantom{ f}\right)$ = X $\left(\vphantom{ f}\right.$ f $\left.\vphantom{ f}\right)$ *W $\left(\vphantom{ f}\right.$ f $\left.\vphantom{ f}\right)$ . Quindi, il vero spettro X $\left(\vphantom{ f}\right.$ f $\left.\vphantom{ f}\right)$ di x $\left(\vphantom{ t}\right.$ t $\left.\vphantom{ t}\right)$ non può essere conosciuto, se non tramite l'effetto della convoluzione con quello W $\left(\vphantom{ f}\right.$ f $\left.\vphantom{ f}\right)$ della funzione finestra w $\left(\vphantom{ t}\right.$ t $\left.\vphantom{ t}\right)$ . Già a pagina

si è fatto notare come, se x $\left(\vphantom{ t}\right.$ t $\left.\vphantom{ t}\right)$ = Acos 2 $\pi$ f₀t e w $\left(\vphantom{ t}\right.$ t $\left.\vphantom{ t}\right)$ = rect_T $\left(\vphantom{ t}\right.$ t $\left.\vphantom{ t}\right)$ , si ottiene che

W $\displaystyle \left(\vphantom{ f}\right.$ f $\displaystyle \left.\vphantom{ f}\right)$ = Tsinc $\displaystyle \left(\vphantom{ fT}\right.$ fT $\displaystyle \left.\vphantom{ fT}\right)$

Valutiamo ora gli effetti derivanti dall'uso di una funzione finestra diversa da quella rettangolare. Sa ad esempio si sceglie di adottare una finestra triangolare di eguale base, il risultato mostrato pag.

permette di ottenere

W $\displaystyle \left(\vphantom{ f}\right.$ f $\displaystyle \left.\vphantom{ f}\right)$ = $\displaystyle \mathcal {F}$ $\displaystyle \left\{\vphantom{ w\left( t\right) =tri_{T}\left( t\right) }\right.$ w $\displaystyle \left(\vphantom{ t}\right.$ t $\displaystyle \left.\vphantom{ t}\right)$ = tri_T $\displaystyle \left(\vphantom{ t}\right.$ t $\displaystyle \left.\vphantom{ t}\right)$ $\displaystyle \left.\vphantom{ w\left( t\right) =tri_{T}\left( t\right) }\right\}$ = T $\displaystyle \left[\vphantom{ sinc\left( \frac{fT}{2}\right) }\right.$ sinc $\displaystyle \left(\vphantom{ \frac{fT}{2}}\right.$ $\displaystyle {\frac{fT}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{fT}{2}}\right)$ $\displaystyle \left.\vphantom{ sinc\left( \frac{fT}{2}\right) }\right]^{2}_{}$

Le conseguenze del diverso andamento in frequenza delle due funzioni finestra possono essere percepite qualora esse vengano applicate ad un segnale composto (ad esempio) da due sinusoidi a frequenza f₁ ed f₂ > f₁: per la linearità della trasformata, il risultato sarà la replica di W $\left(\vphantom{ f}\right.$ f $\left.\vphantom{ f}\right)$ centrata alle due frequenze presenti. Allora, l'andamento delle ``code'' di W $\left(\vphantom{ f}\right.$ f $\left.\vphantom{ f}\right)$ potrà avere conseguenze diverse per uno stesso scarto di frequenza f₂ - f₁: nel caso di una w $\left(\vphantom{ t}\right.$ t $\left.\vphantom{ t}\right)$ rettangolare, si assisterà ad una sovrapposizione maggiore delle repliche di W $\left(\vphantom{ f}\right.$ f $\left.\vphantom{ f}\right)$ , rispetto alla w $\left(\vphantom{ t}\right.$ t $\left.\vphantom{ t}\right)$ triangolare, tanto da far preferire la seconda, nel caso in cui si desideri distinguere la presenza di entrambe le frequenze (potenzialmente di ampiezze differenti), anche se con scarto di frequenza f₂ - f₁ ridotto. Per scarti inferiori a ${\frac{4}{T}}$ , può invece convenire adottare un finestra rettangolare, con il lobo principale di minore estensione.

Considerazioni anologhe a quelle ora svolte, possono essere intraprese per diverse scelte di funzione finestra, in dipendenza dal particolare obiettivo della stima spettrale.