L-FSK

Nel caso in cui si richieda una ampiezza del segnale modulato rigidamente costante, si può adottare l'FSK (Frequency Shift Keying), che produce per il segnale modulato l'espressione

x_FSK$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = cos$$\left[\vphantom{ 2\pi \left( f_{0}+m\left( t\right) \right) t}\right.$$2$$\pi$$$$\left(\vphantom{ f_{0}+m\left( t\right) }\right.$$f₀ + m$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ $$\left.\vphantom{ f_{0}+m\left( t\right) }\right)$$t$$\left.\vphantom{ 2\pi \left( f_{0}+m\left( t\right) \right) t}\right]$$    dove    m$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = $$\Delta$$ ^. $$\sum_{k=-\infty }^{\infty }$$f_k ^. rect_TL$$\left(\vphantom{ t-kT_{L}}\right.$$t - kT_L$$\left.\vphantom{ t-kT_{L}}\right)$$

con f_k $\in$ $\left\{\vphantom{ 0,1,2,\ldots ,L-1}\right.$0, 1, 2,..., L - 1$\left.\vphantom{ 0,1,2,\ldots ,L-1}\right\}$.

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Si tratta in pratica di una portante la cui frequenza nominale f₀ è alterata di una quantità $\Delta$ ^. f_k Hz per un intervallo di T_L secondi, pari al periodo di simbolo. $\Delta$ rappresenta quindi la spaziatura (uniforme) tra le frequenze, ognuna rappresentativa di uno degli L livelli. Pertanto l'espressione può essere riscritta come

x_FSK$$\left(\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right)$$ = $$\sum_{k=-\infty }^{\infty }$$cos$$\left[\vphantom{ 2\pi \left( f_{0}+\Delta f_{k}\right) t}\right.$$2$$\pi$$$$\left(\vphantom{ f_{0}+\Delta f_{k}}\right.$$f₀ + $$\Delta$$f_k$$\left.\vphantom{ f_{0}+\Delta f_{k}}\right)$$t$$\left.\vphantom{ 2\pi \left( f_{0}+\Delta f_{k}\right) t}\right]$$ ^. rect_TL$$\left(\vphantom{ t-kT_{L}}\right.$$t - kT_L$$\left.\vphantom{ t-kT_{L}}\right)$$

Il risultato è senza dubbio ad ampiezza costante; se T_L $\gg$ ${\frac{1}{f_{0}}}$ si può adottare uno schema di mo-demodulazione basato su di un PLL (vedi pagg. 9.2.1.3 e 9.3.1.1) riportato (per L = 2) in figura, in cui all'uscita del passa basso ritroviamo il segnale modulante.

Questo schema è effettivamente utilizzato per modem a bassa velocità e basso costo, ed ha il pregio di funzionare anche in presenza di errori tra l'f₀ usata al trasmettitore e quella al ricevitore. Per raggiungere velocità più elevate occorre ridurre T_L (ovvero aumentare f_L = ${\frac{f_{b}}{\log _{2}L}}$ che, a parità di L, consente un aumento di f_b).

FSK ortogonale

Nel caso in cui si realizzi la condizione $\Delta$ = ${\frac{n}{2T_{L}}}$ con n intero, le diverse frequenze f₀ + $\Delta$f_k sono ortogonali^11.3, e può essere adottato un demodulatore a correlazione, mostrato appresso e discusso alla nota^11.4.

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Demodulatore a correlazione

 

 Nel caso di modulazione coerente, la banda occupata può essere approssimata^11.5 come

B $$\simeq$$ $${\frac{L}{2T_{L}}}$$

(considerando L elevato e dunque B $\gg$ $\Delta$), pertanto l'efficienza spettrale risulta

$$\rho$$ = $${\frac{f_{b}}{B}}$$ = $${\frac{f_{L}\log _{2}L}{L/2T_{L}}}$$ = $${\frac{2\log _{2}L}{L}}$$

ossia ${\frac{L}{2}}$ volte peggiore dell' L-ASK. Nell'Appendice 11.5.2 è riportato un approfondimento dell'analisi relativa all'FSK ortogonale.

Ma: se l'efficienza spettrale è così bassa, che vantaggi ci sono ad usare l'FSK? ... a sua difesa, portiamo i seguenti argomenti:

Il caso semplice

(con T_L $\gg$ ${\frac{1}{f_{0}}}$) è di facile realizzazione e poco costoso; ad esempio, veniva usato per salvare su compact cassette audio i dati degli home computer degli anni '70^11.6

Se L=2

l'efficienza spettrale è uguale all'ASK^11.7 .

La probabilità di errore

può essere resa piccola a piacere nei limiti della teoria dell'informazione^11.8 . Il grafico seguente mostra i valori di E_b/N₀ necessari per ottenere le varie P_e con diversi valori di L, e mostra come, all'aumentare di L, sia necessaria sempre meno potenza per ottenere la stessa P_e, a patto che risulti E_b/N₀ > 1/log₂e = 0, 69. Questo valore è noto come limite di Shannon-Hartley^11.9

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Il risultato evidenziato merita qualche considerazione ulteriore: osserviamo infatti che la banda occupata

B $$\simeq$$ $${\frac{L}{2T_{L}}}$$ = $${\frac{L}{2\frac{1}{f_{L}}}}$$ = $${\frac{L}{2\frac{\log _{2}L}{f_{b}}}}$$ = $${\frac{f_{b}}{2}}$$$${\frac{L}{\log _{2}L}}$$

aumenta (a parità di f_b) all'aumentare di L. Pertanto, per un E_b/N₀ assegnato (ovvero con f_b, potenza di segnale, e potenza di rumore preassegnate), l'FSK permette di ottenere P_e arbitrariamente piccole, a spese di una occupazione di banda sempre maggiore. L'aumento di L non può però essere qualunque, oltre che per le limitazioni del canale, anche a causa della complessità del ricevitore!